ORIGEM DOS NÚMEROS NEGATIVOS
Os números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga. Os matemáticos chineses da antigüidade tratavam os números como excessos ou faltas. Os chineses realizavam cálculos em tabuleiros, onde representavam os excessos com palitos vermelhos e as faltas com palitos pretos, ou seja, barras vermelha para os números positivos e barras preta para os números negativos. Os Matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de equações quadráticas. É exemplo disso as contribuições de Brahomagupta, pois a aritmética sistematizada dos números negativos encontra-se pela primeira vez na sua obra, onde ele afirmava que os números podem ser entendidos como pertences ou dívidas. Mas, sem símbolos próprios para que se pudessem realizar as operações, os números absurdos, como eram chamados, não conseguiam se firmar como verdadeiros números.
Cardano usou os números negativos embora chamando-os de "numeri ficti". A situação mudou a partir do (Séc.XVIII) quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos como sendo segmentos de direções opostas.
Depois de várias tentativas frustradas, os matemáticos conseguiram encontrar um símbolo que permitisse operar com esse novo número. Mas como a história da matemática é cheia de surpresas, não poderia de faltar mais uma: Ao observar a prática adotada pelos comerciantes da época, os matemáticos verificaram que se no início do dia, um comerciante tinha em seu armazém duas sacas de feijão de 40 quilogramas cada, se ao findar o dia ele tivesse vendido 7 quilogramas de feijão, para não se esquecer de que naquele saco faltavam 7 quilogramas, ele escrevia o número 7 com um tracinho na frente (-7). Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 3 quilogramas que restavam, escrevia o número 3 com dois tracinhos cruzados na frente (+3), para se lembrar que naquele saco havia 3 quilogramas a mais de feijão do que a quantidade inicial.
Os matemáticos aproveitaram-se desse expediente e criaram o número com sinal: Positivo (+) ou Negativo (-).
Para ilustrar a utilização dos números negativos de forma concreta, geralmente uso a idéia do comércio, onde o número negativo representa dívida, ou seja, se você tem dez reais e ganha uma divida de três reais com quanto fica?
Temos assim, 10 + (-3) = 7. Agora se você deve cinco reais e têm sete reais, você paga a dívida e quanto sobra? Temos (-5)+ 7 = 2.
Também se você deve oito reais e têm somente dois reais, o que acontece?
Temos (-8 + 2)= -6, logo você fica devendo seis. Ao trabalhar com multiplicação, uso a idéia de prestações, exemplo: Devo pagar 8 prestações de quatro reais cada uma, quanto devo a loja? Tendo 8 x (-4) = -32.
Para trabalhar com a multiplicação uso também a idéia do oposto, onde o sinal negativo mostra o oposto do número em relação ao zero na reta numérica. Temos o oposto de 5 é indicado por -5. Também 2 x (-3) ( o dobro do oposto de três) é igual a -6.
Curiosidade: Como surgiu o zero?
Para responder essa questão é necessário saber que os hindus foram os criadores do sistema de numeração posicional e que muitos cálculos efetuados por eles eram realizados com a ajuda de um ábaco, instrumento que para a época poderia ser considerado uma verdadeira máquina de calcular.
O ábaco usado inicialmente pelos hindus consistia em meros sulcos feitos na areia, onde se colocavam pedras. Cada sulco representava uma ordem. Assim, da direita para a esquerda, o primeiro sulco representava as unidades; o segundo as dezenas e o terceiro as centenas.
Sulco vazio do ábaco indica que não existe nenhuma dezena. Mas na hora de escrever o número faltava um símbolo que indicasse a inexistência de dezenas.
E, foi exatamente isso que fizeram os hindus, eles criaram o tão desejado símbolo para representar o sulco vazio e o chamaram de Sunya (vazio). Dessa forma, para escrever o número representado no ábaco de areia, escreviam o 2 para as centenas, o 3 para as unidades e entre eles faziam o desenho do sulco vazio, para indicar que não havia no número nenhuma dezena.
Ao introduzir o desenho do sulco vazio entre os dois outros símbolos os hindus criaram o zero que, desde aquela época já se parecia com o que usamos hoje.
Referências Bibliográficas.
www.somatematica.com.br/negativos.php
Princípio da Indução Finita
Exemplo onde o Princípio da Indução Finita não funciona.
1) Considere a relação
Nesta relação não funciona o Princípio da Indução Finita.
2) Dada a relação
Nesta relação não funciona o Princípio da Indução Finita.
Referência Bibliográfica.
IEZZI, G. e MURAKAMI, C. (2006). Fundamentos de Matemática Elementar – Conjuntos e Funções Vol I. São Paulo, SP: Atual Editora.
